Условие получено словацким математиком Стодолой в конце 19-го столетия. Оно интересно в методическом плане для понимания условий устойчивости системы.
Запишем характеристическое уравнение системы в виде
D(p) = a0pn + a1pn-1 +…an= 0. (2.9.3)
По Стодоле для устойчивости необходимо, но недостаточно, чтобы пpи a0 > 0 все остальные коэффициенты были строго положительны, т.е.
a1 > 0, ., an > 0.
Необходимость
можно сформировать так:
Если система устойчива, то все корни характеристического уравнения имеют , т.е. являются левыми.
Доказательство необходимости элементарное. По теореме Безу характеристический полином можно представить в виде
.
Пусть , т.е действительное число, а - комплексно-сопряженные корни. Тогда
…
Отсюда видно, что в случае полинома с действительными коэффициентами комплексные корни попарно-сопряженные. При этом, если , , то имеем произведение многочленов с положительными коэффициентами, которое дает многочлен только с положительными коэффициентами.
Недостаточность
условия Стодолы заключается в том, что условие не гарантирует, что все . В этом можно убедиться на конкретном примере, рассмотрев полином степени .
Заметим, что в случае условие Стодолы одновременно необходимо и достаточно. Из вытекает . Если , то и , чтобы .
Для из анализа формулы корней квадратного уравнения также вытекает достаточность условия.
Из условия Стодолы вытекает два важных следствия.
1. Если условие выполняется, а система неустойчива, то переходный процесс имеет колебательный характер. Это следует из того, что уравнение с положительными коэффициентами не может иметь действительных положительных корней. По определению корень - это число, обращающее характеристический полином в нуль. Никакое положительное число не может обратить в нуль многочлен с положительными коэффициентами, то есть быть его корнем.
2. Положительность коэффициентов характеристического полинома (соответственно выполнение условия Стодолы) обеспечивается в случае отрицательной обратной связи, т.е. в случае нечетного числа инверсий сигнала по замкнутому контуру. В этом случае характеристический полином . В противном случае имели и после приведения подобных некоторые коэффициенты могли оказаться отрицательными.
Заметим, что отрицательная обратная связь не исключает возможности невыполнения условия Стодолы. Например, если , а , то в случае единичной отрицательной обратной связи . В данном полиноме коэффициент при равен нулю. Отрицательных коэффициентов нет, но, тем не менее, условие не выполняется, так как оно требует строго выполнения неравенств .
Это подтверждает и следующий пример.
Пример 2.9.1.
Применить условие Стодолы к схеме рис. 2.9.2.
Передаточная функция разомкнутой по цепи единичной отрицательной обратной связи системы равна и характеристическое уравнение замкнутой системы есть сумма числителя и знаменателя, т. е.
Двухканальный усилитель низкой частоты 2х22Вт
Предлагаемый усилитель обладает малыми габаритами и широким диапазоном
питающих напряжений. УНЧ воспроизводит частоты 45 Гц…20 кГц при коэффициенте
нелинейн ...
Программное обеспечение для предварительных испытаний манипулятора грунтозаборного комплекса космического аппарата Фобос-грунт
Важным этапом отработки агрегатов и устройств КА является процесс их
испытаний. Современные испытания немыслимы без автоматизации испытаний, наряду
с исполь ...
Расчет многослойных просветляющих и отражающих покрытий
Для заданной марки оптического материала произвести расчёт
однослойного, двухслойного, трёхслойного и многослойного просветляющего
покрытия с мин ...