Оценка устойчивости САР по корням характеристического уравнения системы

Решением дифференциального уравнения при известныхg(t), j(t) является закон изменения выходной регулируемой величины X(t). Для того, чтобы найти переходные процессы, протекающие в САР, необходимо применить к уравнению

обратное преобразование Лапласа:

Если интегралы являются «неберущимися», то для определения переходного процесса используется формула Хэвисайда:

где

U0 - амплитуда входного воздействия;

A′(si) - значение производнойbзнаменателя передаточной функции при значенииsi

n- количество корнейхарактеристического уравнения системы.

Корни характеристического уравнения системы (рис. 5.1) могут быть вещественными (корень S1), комплексно-сопряженными (S2, S3, S7, S8), мнимыми (S5, S6). Кроме того, корни могут располагаться: в левой

полуплоскости, в правой

, либо на оси ординат

и, соответственно, будут левыми

, правыми

, либо нулевыми

.

Система будет устойчива, если переходный процесс при t → ∞ стремится к установившемуся значению X(∞) = Xуст. А это значит, что показатель экспоненты уравнения формулы Хэвисайда должен быть отрицательным, то есть все корни характеристического уравнения системы должны располагаться в левойполуплоскости корней(рис. 5.1).

Рис. 5.1 Варианты расположения корней характеристического уравнения

Корневой критерий устойчивости:

Для того, чтобы САР была устойчивой необходимо и достаточно чтобы все корни характеристического уравнения системы были левыми.

Если среди корней характеристического уравнения системы есть хотя бы один правый, а остальные левые, то САР является неустойчивой.

Если среди корней характеристического уравнения системы есть хотя бы один нулевой, а остальные левые, то САР является нейтральной, то есть - находится на границе устойчивости.

Приведем уравнение

A(s) = [(T1·p + 1)(T2·p + 1)(TЭ·TМ·p2 + TМ·p + 1) + КУ2 ·КДУ2·КР2 ·(T3·p +

1) (T4·p + 1)·КЭУ ·КД1

К виду

T1T2TЭTМ·s4+T1T2TМ·s3+T1T2·s2+T1TЭTМ·s3+T1TМ·s2+T1·s+T2TЭ·TМ·s3+T2

TМ·s2+ +T2·s + TЭ·TМ·s2+ TМ·s+1+КУ2 ·КДУ2·КР2 ·КЭУ·КД1(T3 T4 s2+ T3·s

+T4·s+1) = T1T2TЭTМ·s4+[T1T2TМ+T1TЭTМ3+T2TЭ·TМ]·s3 + [T1T2 + T1TМ + 2TМ + TЭ·TМ + КУ2 ·КДУ2·КР2 · КЭУ·КД1 ·T3 T4] ·s2+ [T2+ TМ+ КУ2 ·КДУ2·КР2

КЭУ·КД1 (T3+T4)] ·s + +КУ2 ·КДУ2·КР2 · КЭУ·КД1+1=0

Подставляя известные значения Т, рассчитаем коэффициенты характеристического уравнения системы:

a0=0,2·0,1·0·0,141=0

;

a1=0,2·0,1·0,141+0,2·0·0,141+0,1·0·0,141=0,00282

;

a2=0,2·0,1+0,2·0,141+0,1·0,141+0·0,141+14·28,6·0,01·22·1,45·0,87·0,023

= 2,618129

;

a3=0,1+0,141+14·28,6·0,01·22·1,45(0,87+0,023)=114,3017

;

a4=14·28,6·0,01·22·1,45+1=128,7276

Интересное из раздела

Автоматизированная система учета энергоресурсов
Вследствие роста тарифов на энергоресурсы, потребляемые населением (газ, вода, электроэнергия), встает вопрос о необходимости оперативного и достоверного контро ...

Расчет потенциометрического датчика
Потенциометрическим датчиком (ПД) называется элемент автоматики, осуществляющий преобразование механического превращения (углового или линейного) ...

Программное обеспечение для предварительных испытаний манипулятора грунтозаборного комплекса космического аппарата Фобос-грунт
Важным этапом отработки агрегатов и устройств КА является процесс их испытаний. Современные испытания немыслимы без автоматизации испытаний, наряду с исполь ...