Оценка устойчивости САР по корням характеристического уравнения системы

Решением дифференциального уравнения при известныхg(t), j(t) является закон изменения выходной регулируемой величины X(t). Для того, чтобы найти переходные процессы, протекающие в САР, необходимо применить к уравнению

обратное преобразование Лапласа:

Если интегралы являются «неберущимися», то для определения переходного процесса используется формула Хэвисайда:

где

U0 - амплитуда входного воздействия;

A′(si) - значение производнойbзнаменателя передаточной функции при значенииsi

n- количество корнейхарактеристического уравнения системы.

Корни характеристического уравнения системы (рис. 5.1) могут быть вещественными (корень S1), комплексно-сопряженными (S2, S3, S7, S8), мнимыми (S5, S6). Кроме того, корни могут располагаться: в левой

полуплоскости, в правой

, либо на оси ординат

и, соответственно, будут левыми

, правыми

, либо нулевыми

.

Система будет устойчива, если переходный процесс при t → ∞ стремится к установившемуся значению X(∞) = Xуст. А это значит, что показатель экспоненты уравнения формулы Хэвисайда должен быть отрицательным, то есть все корни характеристического уравнения системы должны располагаться в левойполуплоскости корней(рис. 5.1).

Рис. 5.1 Варианты расположения корней характеристического уравнения

Корневой критерий устойчивости:

Для того, чтобы САР была устойчивой необходимо и достаточно чтобы все корни характеристического уравнения системы были левыми.

Если среди корней характеристического уравнения системы есть хотя бы один правый, а остальные левые, то САР является неустойчивой.

Если среди корней характеристического уравнения системы есть хотя бы один нулевой, а остальные левые, то САР является нейтральной, то есть - находится на границе устойчивости.

Приведем уравнение

A(s) = [(T1·p + 1)(T2·p + 1)(TЭ·TМ·p2 + TМ·p + 1) + КУ2 ·КДУ2·КР2 ·(T3·p +

1) (T4·p + 1)·КЭУ ·КД1

К виду

T1T2TЭTМ·s4+T1T2TМ·s3+T1T2·s2+T1TЭTМ·s3+T1TМ·s2+T1·s+T2TЭ·TМ·s3+T2

TМ·s2+ +T2·s + TЭ·TМ·s2+ TМ·s+1+КУ2 ·КДУ2·КР2 ·КЭУ·КД1(T3 T4 s2+ T3·s

+T4·s+1) = T1T2TЭTМ·s4+[T1T2TМ+T1TЭTМ3+T2TЭ·TМ]·s3 + [T1T2 + T1TМ + 2TМ + TЭ·TМ + КУ2 ·КДУ2·КР2 · КЭУ·КД1 ·T3 T4] ·s2+ [T2+ TМ+ КУ2 ·КДУ2·КР2

КЭУ·КД1 (T3+T4)] ·s + +КУ2 ·КДУ2·КР2 · КЭУ·КД1+1=0

Подставляя известные значения Т, рассчитаем коэффициенты характеристического уравнения системы:

a0=0,2·0,1·0·0,141=0

;

a1=0,2·0,1·0,141+0,2·0·0,141+0,1·0·0,141=0,00282

;

a2=0,2·0,1+0,2·0,141+0,1·0,141+0·0,141+14·28,6·0,01·22·1,45·0,87·0,023

= 2,618129

;

a3=0,1+0,141+14·28,6·0,01·22·1,45(0,87+0,023)=114,3017

;

a4=14·28,6·0,01·22·1,45+1=128,7276

Интересное из раздела

Линейная антенная решетка
Антенны СВЧ широко применяют в различных областях радиоэлектроники - связи, телевидении, радиолокации, радиоуправлении, а также в системах инструмент ...

Построение телефонной сети малого предприятия на программной АТС Asterisc
В настоящее время телекоммуникационные технологии находятся на столь высоком уровне развития, что внедряются абсолютно в любые устройства, начи ...

Блок горизонтального отклонения электронно-лучевого осциллографа
Проектирование блока горизонтального отклонения электронно-лучевого индикатора предусматривает расчет следующих функциональных блоков схемы: ü Гене ...