По заданным корням характеристического уравнения записать общее решение однородного дифференциального уравнения, определить , указать расположение корней на плоскости и по их расположению отметить х

, ,

Общее решение дифференциального уравнения находим по формуле

,

где - постоянные интегрирования, - корни характеристического уравнения - алгебраического уравнения, которое характеризует общее решение дифференциального уравнения.

определим по формуле:

В понятие устойчивости системы входит только факт наличия или отсутствия затухания переходного процесса. Устойчивость линейной системы определяется только характеристическим уравнением и его корнями.

Корни характеристического уравнения:

. Вещественный корень.

а)

б)

Кривая переходного процесса по экспоненте монотонно возрастает (убывает). Характер переходного процесса монотонный.

. Комплексные корни. Попарно сопряженные корни

,

,

где - постоянные интегрирования; - круговая частота колебаний; - показатель затухания - определяет затухание огибающей к кривой переходного процесса.

а)

Колебания переходного процесса затухающие.

б)

Колебания переходного процесса расходящиеся.

Характер переходного процесса немонотонный (колебательный).

. Чисто мнимые корни (корни с нулевой вещественной частью)

,

Колебания переходного процесса с постоянной амплитудой.

Характер переходного процесса немонотонный (колебательный)

Система будет называться устойчивой, если с течением времени при переходная составляющая будет стремиться к нулю:

Для затухания переходного процесса необходимо, чтобы вещественные части корней были отрицательными.

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели строго отрицательные вещественные части, т.е. Repi < 0, i = 1…n.

Для наглядности корни характеристического уравнения принято изображать на комплексной плоскости рис.2.9.1а. При выполнении необходимого и достаточного условия все корни лежат слева от мнимой оси, т.е. в области устойчивости.

Поэтому условие (2.9.2) можно сформулировать следующим образом.

Для устойчивости необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения располагались в левой полуплоскости.

Интересное из раздела

Проектирование автоматического измерителя артериального давления
Важным компонентом клинического мониторинга, определяющим состояние сердечнососудистой системы и организма в целом, является контроль кровяного давления. Дв ...

Расчет спектральных характеристик сигналов и каналов связи
На современном этапе развития перед железнодорожным транспортом стоят задачи по увеличению пропускной и провозной способности, грузовых и пассажирских перев ...

Моделирование элементов и систем управления
Управляемый объект состоит их четырех типовых динамических звеньев, соединенных между собой в определенной последовательности с образованием двух замкнутых контуров (рису ...