Оценка устойчивости САР на основе критерия Михайлова

Для оценки устойчивости САР необходимо получить уравнение кривой Михайлова. Для этого воспользуемся характеристическим уравнением замкнутой системы

A(s) = (a0·sn+ a1·sn-1+ a2·sn-2+ . . . + an)=0;

Переходя в частотный диапазон, заменяя s → jω, выделяя вещественную и мнимую составляющие, получим уравнение кривой Михайлова.

D(j ω) =a0· (j ω)n + a1· (j ω)n-1 + a2· (j ω)n-2 +. . .+ an-1· (j ω) + an =

= U(ω) +jV(ω)

Где U(ω), V(ω) − вещественная и мнимая составляющие уравнения кривой Михайлова.

По уравнению кривой Михайлова, при изменении ω, на комплексной плоскости строиться кривая Михайлова (рис. 6.1)

Рис. 6.1 Кривые Михайлова, построенные для устойчивых систем cn=1, n=2, n=3, n=4

Для того, чтобы САР была устойчивой необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

- при ω=0 годограф кривой Михайлова должен начинаться на положительной вещественной оси;

-при изменении частоты 0 = ωдо ∞ годограф кривой Михайлова должен поочередно, нигде не обращаясь в 0, в положительном (против часовой стрелки) направлении пройти n квадрантов.

Если годограф кривой Михайлова при конкретной частоте, не равной 0, проходит через начало координат, то система является нейтральной.

При невыполнении хотя бы одного из сформулированных условий система является неустойчивой. Подставим известные значения an, в характеристическое уравнение замкнутой системы

A(s)=0·s4+ 0,00282·s3+ 2,618129·s2+ 114,3017·s+128,7276=0;

D(j ω) =0· (j ω)n + 0,00282· (j ω)3 + 2,618129· (j ω)2 +114,3017 ·(j ω) +

128,7276=(-2,618129· ω2 + 128,727)+j(0,00282· ω3+114,3017 · ω)

Изменяя ω можно построить кривую Михайлова (рис. 6.2, 6.3)

Рис. 6.2 Кривая Михайлова для ωот 0 до 10 (с-1)

Рис. 6.3 Кривая Михайлова дляωот0 до 230 (с-1)

Вывод:

Все требования условия устойчивости Михайлова выполняются:

- при ω=0 годограф кривой Михайлова начинается на положительной вещественной оси;

-при n=3 порядок следования квадрантов не нарушается.

Следовательно, САР следящей системыс данными параметрами является устойчивой.

Интересное из раздела

Ошибки позиционирования GPS-приемников в условиях полярных геомагнитных возмущений
Определение своего положения с помощью GPS навигатора, отдельного прибора, или устройства, встроенного в карманный компьютер или сотовый тел ...

Проект трассы волоконно-оптической линии связи между г. Елец и г. Липецк
В настоящее время развития цифровых технологий и построения сетей NGN, где основу предоставления услуг определяют сети широкополосного доступа, объемы перед ...

Программируемый формирователь последовательности импульсов с цифровой индикацией количества импульсов
Проектируемое устройство в готовом виде представляет собой отдельный прибор, основной функцией которого является формирование последовательности импульсов заданной частот ...